First Integral

释义 Definition

（数学/物理）第一积分；首次积分；守恒量形式的积分：指微分方程（尤其在动力系统与经典力学中）的一个不随自变量（常为时间）变化的量，也常称为“运动常数/守恒量”。它可以用来降低方程阶数或帮助求解轨线。（在不同语境下也可能泛指“对方程做一次积分得到的结果”。）

例句 Examples

A first integral can simplify the differential equation.
第一积分可以简化这个微分方程。

If the system admits a first integral, the trajectories lie on level sets of that conserved quantity, which reduces the effective dimension of the dynamics.
如果该系统存在第一积分，那么轨线会落在该守恒量的等值集合上，从而降低动力学的有效维数。

发音 Pronunciation (IPA)

/fɝːst ˈɪntɪɡrəl/（美式常见）; /fɜːst ˈɪntɪɡrəl/（英式常见）

词源 Etymology

first 来自古英语 fyrst，表示“最先的、第一的”；integral 来自拉丁语 integer（完整的、未被分割的），经由中世纪拉丁语与法语进入英语。在数学里 integral 与“整体/累积”相关；“first integral”在微分方程与力学传统中用于表示“首先得到的（重要的）积分形式的守恒关系”，即某种不变量。

相关词 Related Words

• Integral
• Antiderivative
• Conservation
• Invariant
• Hamiltonian
• Constant
• Differential
• Trajectory

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Mathematical Methods of Classical Mechanics（V. I. Arnold）：讨论可积系统、守恒量与第一积分。
• Classical Mechanics（Herbert Goldstein）：在对称性与守恒定律相关章节中涉及第一积分/运动常数。
• Mechanics（L. D. Landau & E. M. Lifshitz）：以守恒量（第一积分）形式处理动力学问题。
• A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies（E. T. Whittaker）：在解析动力学框架下使用第一积分概念。